[2016년 주엽고]

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[1학년 2학기 기말]

등차수열 [eqn: 4], [eqn: 7], [eqn: 10], [eqn: 13], [eqn: cdots]에서 공차는?

③

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: log_{1over2} N=-3]을 만족하는 [eqn: N]의 값은?

⑤

① [eqn: 1over8]	② [eqn: 1over6]	③ [eqn: 2]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 8]

수열 [eqn: left{a_n right}], [eqn: left{b_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1^10 a_k =30], [eqn: sum_k=1 ^10 b_k =50]일 때,
[eqn: sum_k=1 ^10 (3a_k -b_k +1)]의 값은?

④

① [eqn: 41]	② [eqn: 44]	③ [eqn: 47]

④ [eqn: 50]	⑤ [eqn: 53]

다음 수들이 순서대로 등차수열을 이룰 때,

[eqn: a_1 + a_2 + a_3 +cdots+a_20]의 값은?

[eqn: 5], [eqn: a_1], [eqn: a_2], [eqn: a_3], [eqn: cdots], [eqn: a_20], [eqn: 65]

①

① [eqn: 700]	② [eqn: 770]	③ [eqn: 780]

④ [eqn: 800]	⑤ [eqn: 820]

다음은 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합 [eqn: S_n]이 [eqn: S_n =pr^n +q]인 수열 [eqn: left{a_n right}]의 첫째항과 공비를 구하는 과정이다. (단, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항부터 등비수열을 이룬다.)

위의 [eqn: (가)], [eqn: (나)], [eqn: (다)]에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(r)], [eqn: g(p)], [eqn: h(r)]이라 할 때, [eqn: f(101) + g(50) + h(50)]의 값은?

[eqn: n=1]일 때, [eqn: a _{1} =p CDOT (`box{`````(가)`````}`)]

[eqn: n ge2]일 때, [eqn: a_n = S_n -S_n-1][eqn: =pr ^{n-1} CDOT (` BOX{`````(가)`````} ` )]

한편, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항부터 등비수열을 이루므로

[eqn: q=box{`````(나)`````}]

또, [eqn: a_n+1 = pr^n cdot(`box{````` (가)`````}`)]

이므로 [eqn: {a _{n+1}} over {a _{n}} =box{`````(다)`````}]

따라서, 수열 [eqn: left{a_n right}]은 첫째항이 [eqn: p CDOT (` BOX{`````(가)`````} `)]

공비가 [eqn: box{`````(다)`````}]인 등비수열이다.

③

① [eqn: 0]	② [eqn: 50]	③ [eqn: 100]

④ [eqn: 200]	⑤ [eqn: 201]

[eqn: 1 cdot3+3cdot4+5cdot5+```cdots```+19cdot12]의 값은?

④

① [eqn: 860]	② [eqn: 885]	③ [eqn: 900]

④ [eqn: 915]	⑤ [eqn: 933]

공비가 실수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_1 + a_4 = 4], [eqn: a_4 + a_7 =64]가 성립할 때, [eqn: S_6 over S_3]의 값은? (단, [eqn: S_n]은 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이다.)

④

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 27]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음과 같이 정의될 때, [eqn: a_10]의 값은?

③

[eqn: a_1 =3], [eqn: 1 over a_n+1 = 3 over a_n]

① [eqn: 3^-10]	② [eqn: 3^-9]	③ [eqn: 3^-8]

④ [eqn: 3^8]	⑤ [eqn: 3^10]

거듭제곱근에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

③

ㄱ. [eqn: 16]의 네제곱근은 모두 [eqn: 4]개 존재한다.

ㄴ. [eqn: -3]은 [eqn: -27]의 세제곱근이다.

ㄷ. [eqn: root 4 of 81 = +-3]이다.

ㄹ. [eqn: n]이 홀수일 때, [eqn: a]의 값에 관계없이

[eqn: a]의 [eqn: n]제곱근 중 실수인 것은 하나뿐이다.

① ㄱ	② ㄴ, ㄷ	③ ㄱ, ㄴ, ㄹ

④ ㄴ, ㄷ, ㄹ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ

첫째항이 [eqn: 1]이고 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a_n+1 over a_n = 1over2]를 만족하는 수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 첫째항부터 제[eqn: 8]항까지의 곱을
[eqn: N=a_1 a_2 a_3 cdotsa_8]이라 할 때, [eqn: N]은 소수점 아래 몇째 자리에서 처음으로 [eqn: 0]이 아닌 숫자가 나타나는가? (단, [eqn: log2 = 0.3010]이다.)

③

① 소수점 아래 [eqn: 7]째 자리	② 소수점 아래 [eqn: 8]째 자리

③ 소수점 아래 [eqn: 9]째 자리	④ 소수점 아래 [eqn: 10]째 자리

⑤ 소수점 아래 [eqn: 11]째 자리

[eqn: a=log_2 3], [eqn: b=log_3 5]일 때, [eqn: 1-ab over 1+ab]의 값은?

①

① [eqn: log 2over5]	② [eqn: log_2 3over 5]	③ [eqn: log 5over 3]

④ [eqn: log_2 5over 3]	⑤ [eqn: log 5over2]

수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: sum_k=1^n a_k = n^2 + 2n]일 때, [eqn: sum_k=1 ^180 1 over {root a_k+1 + root a_k]의 값은?

④

① [eqn: -9root3]	② [eqn: -7root3]	③ [eqn: -5root3]

④ [eqn: 5root3]	⑤ [eqn: 10root3]

세 양수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]가 [eqn: a^x = b^2y = c^3z = 9], [eqn: abc=81]을 만족할 때,
[eqn: 6 over x + 3 over y + 2 over z]의 값은?

②

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음과 같이 정의될 때, [eqn: sum_k=1 ^ 101 a_k over 7]의 값은?

⑤

[eqn: a_1 = 5], [eqn: a_n+1 = cases{ a_n over 2 & ```(a_n : 짝수)# 3a_n +1 &``` (a_n : 홀수)}]

① [eqn: 32]	② [eqn: 32 6over7]	③ [eqn: 34]

④ [eqn: 36 1over7]	⑤ [eqn: 37]

어떤 호수에서 수면에서의 빛의 세기가 [eqn: I_o]일 때 수심이 [eqn: d]m 인 곳에서의 빛의 세기 [eqn: I_d]는 다음과 같이 나타내어진다고 한다.

이 호수에서 빛의 세기가 수면에서의 빛의 세기의 [eqn: 50%]인 곳의 수심은?

[eqn: I_d = I_o 2^-0.25d]

①

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 16]

함수 [eqn: f(x) =rootx-2]에 대하여 [eqn: y=f(x)]의 그래프와 [eqn: x]축, 직선 [eqn: x=6]로 둘러싸인 부분을 [eqn: A], [eqn: y=f(x)]의 역함수 [eqn: y=f^-1 (x)]의 그래프와 [eqn: x]축, [eqn: y]축, 직선 [eqn: x=2]으로 둘러싸인 부분을 [eqn: B]라 하자. 이 때, 두 도형 [eqn: A], [eqn: B]의 넓이의 합은?

①

① [eqn: 12]	② [eqn: 18]	③ [eqn: 24]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 30]

전체인구수가 [eqn: 400]만 명인 [eqn: A]시는 저탄소 녹색성장 정착추진에 힘입어 [eqn: 2016]년 초 자전거 보유 인구가 전체 인구의 [eqn: 15%]을 차지하였다. 이 도시에서는 [eqn: 2016]년 초에 [eqn: 5]개년 계획을 세워 자전거 보유 인구를 전년도에 비해 [eqn: 32%]씩 증가시킨다고 한다. 계획대로 진행된다면 [eqn: 5]년 후 자전거 부유 인구는 전체 인구의 몇 [eqn: %]인가? (단, 인구의 변동은 고려하지 않으며 [eqn: log1.32=0.1206], [eqn: log4.02=0.6030]으로 계산한다.)

③

① [eqn: 58.8%]	② [eqn: 59.4%]	③ [eqn: 60.3%]

④ [eqn: 62.2%]	⑤ [eqn: 63.5%]

다음 수열의 [eqn: 121]항까지의 합이 [eqn: p+3^q]일 때, [eqn: p+q]의 값은?

②

[eqn: 4], [eqn: 4,] [eqn: 4over3], [eqn: 4], [eqn: 4 over 3], [eqn: 4 over 9], [eqn: 4], [eqn: 4over 3], [eqn: 4 over9], [eqn: 4 over 27], [eqn: cdots]

① [eqn: 73]	② [eqn: 77]	③ [eqn: 81]

④ [eqn: 85]	⑤ [eqn: 89]

자연수 [eqn: n]에 대하여 등식 [eqn: 2[logn] = [log3n] +1]을 만족시키는 [eqn: 1000] 이하의 자연수 [eqn: n]의 개수는? (단, [eqn: [x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수이다.)

②

① [eqn: 688]	② [eqn: 690]	③ [eqn: 692]

④ [eqn: 694]	⑤ [eqn: 696]

다음 식의 값이 자연수가 되게 하는 [eqn: a]의 최솟값을 [eqn: m], 그때의 식의 값을 [eqn: n]이라 할 때, [eqn: m+n]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: m], [eqn: n]은 자연수)

①

[eqn: root 3 of a^2 times root root 3 of {256 over 9}]

① [eqn: 30]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 108]

④ [eqn: 110]	⑤ [eqn: 228]

서술형

다음은 [eqn: n>=2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: 1+ 1over2 + 1 over 3 + cdots+ 1 over n > 2n over n+1] [eqn: cdots] ①
이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다. 물음에 답하여라.

(1) 가 : [eqn: 3over2],   나 : [eqn: 2over3]

(2) [eqn: 1+ {1} over {2} +cdots+ {1} over {k} > {2k} over {k+1}]

(3) [eqn: {1} over {k+1}]

(4) [eqn: {k+1} over {k+2}]

(5) [eqn: k]

(증명)

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때,

[eqn: (좌변)=box{`````(가)`````}], [eqn: (우변)= BOX{`````(나)`````}]

[eqn: BOX{`````(가)`````} `> BOX{`````(나)`````}]

따라서 [eqn: n=2]일 때, ①이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=k]일 때 ①이 성립한다고 가정하면

[eqn: (다)]

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {k} + BOX{`````(라)`````}# `````````````````````````````````````````````````````````````````> {2k} over {k+1} + BOX{`````(라)`````}# ````````````````````````````````````````````````````````````````< {2k+1} over {k+1} - BOX{`````(마)`````}# ````````````````````````````````````````````````````````````````= {BOX{`````(바)`````}} over {(k+1)(k+2)}]

[eqn: k ge2]인 자연수이므로 [eqn: BOX{`````(바)`````} over {(k+1)(k+2)} > 0]

[eqn: 2k+1 over k+1 >BOX{`````(마)`````}]

[eqn: 1+ 1over 2 + 1 over 3 + cdots + 1 over k + 1 over k+1 > BOX{`````(마)`````}]

따라서 [eqn: n=k+1]일 때도 ①이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: n ge2]인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 ①이 성립한다.

(1) [eqn: (가)], [eqn: (나)]에 알맞은 수를 구하여라.

(2) [eqn: (다)]에 알맞은 식을 구하여라.

(3) [eqn: (라)]에 알맞은 식을 구하여라.

(4) [eqn: (마)]에 알맞은 식을 구하여라.

(5) [eqn: (바)]에 알맞은 식을 구하여라.

[eqn: log A = n + alpha]([eqn: n]은 정수, [eqn: 0 lealpha<1])에서 [eqn: n], [eqn: alpha]가 이차방정식 [eqn: 5x^2 - 11x + k = 0]의 두 근일 때, 상수 [eqn: k]의 값을 구하는 풀이과정과 답을 쓰시오.

[eqn: 2]

[2016년 주엽고]

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[1학년 2학기 기말]

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